Datos de interes
Las dos areas mas importantes donde se aplica este metodo son:
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la Economía
Muchos ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.
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Teoría de control
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se interpretan como costantes variables, y los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano
Multiplicadores de Lagrange
Derivadas parciales
Antes de realizar la optimización, se debe recordar cómo realizar una derivada parcial.
A continuación les mostramos un ejemplo del mismo.
Tenemos la siguiente función:
f (x, y) = x2 + y2 + xy + y
Donde si derivamos en función de x nos quedara de la siguiente manera:
fx = 2x + y
y la derivada en función de y quedara de la siguiente forma:
fy = 2y + x + 1
Recuérdese que en la derivación parcial sólo se derivan los términos que tienen la variable de interés y el resto de variables y constantes, permanecen fijas, como en fy anteriorno se derivó x2 porque no contiene la y.
Multiplicador de Lagrange
El método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas fácilmente.
La idea principal de este método es el desarrollo de condiciones necesarias y suficientes, para los problemas de optimización y dicho método viene definido por:
Donde y son los multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones de igualdad y desigualdad, respectivamente. Los multiplicadores , asociados can las igualdades h(x)=0 no tienen restricciones de signo,mientras que los multiplicadores de , asociados con las desigualdades g(x)>0 deben ser no negativos.
Pasos - Multiplicador de Lagrange
Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una función sujeta a una restricción de igualdad:
Para encontrar la solución a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva función F que debe ser formada por:
(1) estableciendo la restricción igual a cero
(2) multiplicándolo por λ (el multiplicador de Lagrange)
(3) sumando el producto a la función original:
Aquí, es llamada la función Lagrangiana, es la función objetivo u original, y es la restricción. Puesto que la restricción es siempre igual a cero, el producto también es igual a cero y la suma de tal término no cambia el valor de la función objetivo. Los valores críticos (para los cuales la función es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a cada una de las tres variables independientes) e igualándolas a cero. Es decir, simultáneamente:
Donde F1 expresa una derivada parcial ∂ F/ ∂ x1
Ejemplo 1:
Considere el siguiente problema con tres variables de decisión (x, y, z), donde la ecuación G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cuál es una superficie y lo denotaremos por SG. El problema es determinar el valor más grande de la función V (x1, y, z ) para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG
Solución:
Paso 1: formar el lagrangiano.
Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.
Paso 3: La solución a este problema es que por el punto P* = ( x*, y*, z* ) se encuentra sobre la superficie SG donde la función objetivo V (x1, y, z ) consigue ser máximo. Considere también que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la superficie de restricción SG.
Ejemplo 2:
Considerar el siguiente ejemplo:
Solución:
Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema
Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden
Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones:
De la ecuación (1) y (2)
Igualando λ se obtiene: y = - 3x/2 (en función de x) …(a)
De la ecuación (1) y (3)
Igualando λ se obtiene: z = x/2 (en función de x) …(b)
Luego reemplazamos (a) y (b) en la restricción
Resulta en dos soluciones:
Notamos sin embargo que:
Por lo tanto, el punto máximo es ( x1, y1, z1 ) y el punto mínimo es ( x2, y2, z2 )
Problema de optimización, utilizando el método de multiplicadores de Lagrange.
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Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia.
Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.
¿Sabías Que?